哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？
刚学几何时，人们根据自己的认知，那些简单图形的基本定理都是人类几千年共认的公理、定理，感觉无需证明，比如平行线的一此性质与判定，垂线的性质等，它们的证明都不是直接证法，而是用反证法进行推定，证明方法诡异，学生是不容易接受与理解。
很多人说数学这门学科很枯燥无趣，认为那些搞数学的都有一个固执木讷的脑袋。造成这样看似不太公平的印象还是有点依据的，在晓然菌看来，一个很重要的原因就是数学家太爱较真了，可谓是到了锱铢必较的地步。就像数学里有些理论，明明都已经找到了无数验证正确的数学现象，只是一时半会没有找到理论证明，数学家就是不给这样的数学猜想转正，就是只能被称作猜想。
数学博大精深
这里有许多看似简单的理论，证明却是很难。
这个猜想是看起来最简单不过了，“任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。”不出意外的话，你用超级计算机算到世界毁灭都不会遇到一个极其特殊的偶数，你只能写成一个奇合数和一个奇素数之和，或者是只能写成两个奇合数之和，就是不能写成两个奇素数之和，这看起来就是对的啊。
哥德巴赫
对于一个数学猜想解决它的根本道路是从理论上经过逻辑推理，通过推导得到最后成立与否的证明，凡是经历过这样的过程，才能把猜想转正成定理。历史上，在哥德巴赫猜想提出的几百年里，数学家们一直都没放弃过理论上来解决它，尤其在20世纪前半叶，关于哥德巴赫猜想的突破几乎是隔几年来一次。在这里中国解析数论学派取得了重大成就。王元，潘承洞，潘承彪，华罗庚，陈景润都有相当大贡献。
陈景润
目前哥德巴赫猜想最好结果仍然是陈景润在1973年给出的，陈景润的最好结果是：一个充分大的偶数都可以写成一个奇素数和不超过2个奇素数乘积的和，也就是“1+2”。但是猜想的终极目标却是“1+1”啊。如今将近50年过去了，仍然没有进展。人们都认为要有开天辟地的新方法才能解决这个难题了，交给下一个时代的数学家们吧。
哥德巴赫猜想看起来很简单吧，但就是解不开。
3X+1问题
给你一个任意的整数，如果是偶数就除2，如果是奇数就乘3加1,然后如此迭代下去，最终一定会收敛到1。
第一次看到这个问题的同学一定会狐疑，真的吗？我不信。不信，那你就试着算几个呗，好像是真的哎，手算的太小，我用计算机来模拟。如果你的计算机算力足够大，一直计算到100*2^50次方，你会惊奇地发现，这个好像真的是对的，没有一个例外。
考拉兹猜想表述很简单
这个猜想提出的时间不算太久，1937年才开始出现，德国数学家考拉兹发现的发现的。一经推出，立刻风靡世界，50年代的某段时间里，整个耶鲁大学几乎每个人都在研究这个问题。然而，大部分的研究仅限于验算。
3X+1问题计算过程极为动荡
这个小游戏看起来太简单了，理论上应该很好证吧，不好意思，70年来，无人能破，甚至找不到一个真正意义上的突破。前段时间，陶哲轩宣布破解了在这个问题的一小部分，就让很多人心里激动了好久。
陶哲轩
然而，这个世界上最坦荡的就是数学题了，不会就是不会，解不开就是解不开，任何伪装都是徒劳的。
数学家 考拉兹
当然了，数学里有太多这种看似简单实则巨难的问题，只不过以我们普通人的水平都被这最浅显的陈述所蒙蔽了。陈景润曾经说过：“一些想要在哥德巴赫问题研究上有所突破的同志们，必须至少要有数学研究生以上的水平，并且要持续至少要在数论领域深耕数年才有可能有所发现，不具备上述能力的同志们是不可能做出真正的成果的。”
在陈先生的这段话里我们也认识到，数学可以很简单，也可以很困难，唯一要保持的就是对于数学探索的信心以及敬畏之心。
大致说几个。
哥猜(哥德巴赫猜想)距离完全成功就差一步了，可以说几乎没人怀疑这命题是错的，但是它依旧没有被证明。
CH(连续统假设)这个命题，康托尔考察了很多常见的实数子集：闭集，有理数集，无理数集，超越数集等等并未发现有异常情况，集合的基数(元素个数)要么和实数集一样多，要么和自然数集一样多。至少在现有数学的构造和应用上我们没有构造和发现一个具体的集合，它的元素个数比实数集少，但是比自然数集多。从实践来说这个命题可靠性很强，然而它没有被证明。
黎曼猜想。因为黎曼的能力和名气，以及他那些公开的文稿，人们一般认为，黎曼关于素数分布的零点定理是正确的，然而现在连证明思路都没有。前十万亿个点的检验都是白费的，因为有定理表明前十万亿个点不会是黎曼猜想的反例。
四色定理。我们能很容易证明五色定理，然而很显然四色着图是可行的而且没有发现例外。这定理极端困难，目前没有发纯逻辑证明，但是机器证明已经成功。
灵魂猜想。学界据说花了很多笔墨描述分析这个问题，一般认为它是正确的，但是不能证明。初来乍到的佩雷尔曼以四页纸的内容搞定这个猜想，他立刻成为学术界耀眼的新星。
高斯—博内定理。学界没有人怀疑它的正确性。它的内在证明(只用微分几何的方法)是困难的，当时的整体微分几何权威汉斯·霍普夫说：这是当前微分几何最重要且最难的问题。陈省身解决了它，这让其在几何领域留下了不朽的印记。
世界上最深奥的数学理论？
最深奥的数学理论我认为有下列几个
1，有关弦论和统一场论的数学基础理论，包括量子群，量子几何与拓扑量子场论等。
2，新世纪七大数学问题的解决与推进。
3，代数几何中的几个热门方向的进展，包括双有理几何，算术代数几何等基础理论。
4，联系代数数论、代数几何、与群表示理论的数学大统一猜想：朗兰兹纲领的突破。
5，微分几何、微分拓扑、与低维拓扑。
4，
世界顶级八大数学定律？
1、零点定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。（至少存在一个点，其值是0）
2、最值定理
若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值。
3、介值定理
因为f(x)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上存在最大值M，最小值N；即对于一切x∈[a,b],有N<=f(x)<=M。
因此有N<=f(x1)<=M；N<=f(x2)<=M；...N<=f(xn)<=M；上式相加，得nN<=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)<=nM。
于是N<=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n<=M，所以在(x1,xn)内至少存在一点c，使得f(c)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n。
4、费马定理
函数f(x)在点ξ的某邻域U（ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'（ξ）=0。

5、罗尔定理
如果函数f(x)满足以下条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在(a,b)内可导；
（3）f(a)=f(b)；
则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
6、拉格朗日中值定理
如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
7、柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足：
（1）在闭区间【a，b】上连续；
（2）在开区间(a，b)内可导；
（3）对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，
那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
8、积分中值定理
若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立
∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)。
数学最难的十大公式？
圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle）
No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform）
No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations）
No.7 1+1=2 No.6 薛定谔方程（The Schrödinger Equation）
No.5 质能方程（Mass–energy Equivalence）
No.4 勾股定理/毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）
一、圆的周长公式：
二、傅里叶变换：
三、德布罗意方程组：
四、薛定谔方程：
五、质能方程：
六、勾股定理：
七、牛顿第二定律：
八、欧拉公式：
九、麦克斯韦方程组：
十、1+1：
是由德国数学家哥德巴赫提出的一个猜想（哥德巴赫猜想）任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；任何一个≥9之奇数，都可以表示成不超过三个的奇质数之和。
